No hay más que un modo de dar en el clavo, y es dar ciento en la herradura.
Miguel de Unamuno.
 

Infinitésimos

Definición

Infinitésimo

f(x) es un infinitésimo en a si limx->af(x) = 0 (a puede ser inf)

Ejemplo: limx->-inf ex = 0 => ex es un infinitésimo para -infinito.

Definición

Infinitésimos equivalentes

Se dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes si el limx->af(x)/g(x) = 1

limx->a f(x) = 0, limx->ag(x) = 0
f(x) es equivalente a g(x) <=> limx->af(x)/g(x) = 1

Varios de los límites tipo son límites de cocientes de infinitésimos y valen 1. De ahí podemos establecer las siguientes equivalencias: 

  1.     L(1 + x)
lim -------- = 1   =>   L(1 + x) equiv x
x->0   x                x->0 

También: Lx equiv x - 1  (Se deduce haciendo un cambio de 
         x->1             variable en la equivalencia 1)    

  2.     ex - 1
lim ------- = 1    =>   ex - 1 equiv x
x->0   x                x->0

  3.      ax - 1
lim  ------ = La   (a perteneciente a R+) => ax - 1 equiv xLa
x->0    x                                    x->0       

  4.     sen x  
lim ----- = 1      =>   sen x equiv x
x->0  x                 x->0

  5.     tg x
lim ---- = 1       =>   tg x equiv x
x->0  x                 x->0

  6.     1 - cos x    1
lim ---------- = --     =>   1 - cos x equiv x2/2
x->0    x2        2          x->0   

  7.     (1 + x)m - 1
lim ------------- = 1   =>   (1 + x)m - 1 equiv mx
x->0      mx                  x->0

  8.     n  ______                  n  _____            
     \|1 + x  - 1   1           \|1 + x  - 1          
lim ------------- = --  => lim  ------------ = 1 
x->0      x         n      x->0    x/n             
  n  _____
=> \|1 + x - 1 equiv x/n

Comparación de infinitésimos

Sean f(x) y g(x) dos infinitésimos en a.
  1. Se dice que f(x) y g(x) tienen el mismo orden si limx->af(x)/g(x) = k ≠ 0
  2. Se dice que el orden de f(x) es mayor que el orden de g(x) si limx->af(x)/g(x) = 0
  3. Se dice que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) si limx->af(x)/g(x) = inf
  4. Cuando no existe limx->af(x)/g(x) se dice que los infinitésimos no son comparables.

Teorema

Dos infinitésimos son equivalentes <=> el orden de la diferencia es mayor que el orden de ambos.

H) f(x)x->a--> 0, g(x)x->a--> 0, f(x) equiv g(x) cuando x->a
T) orden(f(x) - g(x)) > orden f(x)
    orden(f(x) - g(x)) > orden g(x)

Demostración:

Directo:

                       1      1 pues f(x) equiv g(x)
                     --^--  --^--    x->a
    f(x) - g(x)       f(x)  g(x)
lim ---------- = lim  --- - --- = 0
x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x)

=> (por órdenes de infinitésimos) orden (f(x)-g(x)) > orden (f(x))

Análogamente se prueba que orden (f(x)-g(x)) > orden (g(x)).

Recíproco

orden(f(x) - g(x)) > orden (f(x)) => (por órdenes de infinitésimos)

    f(x) - g(x)
lim ---------- = 0
x->a   f(x)
    
      1	            (por def. infinitésimos equivalentes)  
    --^--                          |
     f(x)  g(x)           g(x)     | 
lim  --- - --- = 0 => lim ---- = 1 => f(x) equiv g(x) 
x->a f(x)  f(x)       x->a f(x)       x->a

Teorema

La suma de dos infinitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden.
H) f(x)x->a--> 0, g(x)x->a--> 0, orden(f(x)) < orden(g(x))
T) f(x) + g(x) equivalente a f(x) cuando x->a.

Demostración: 
                       1      0 pues orden (f(x)) < orden (g(x))
                     --^--  --^--    
    f(x) + g(x)       f(x)  g(x)
lim ---------- = lim  --- + --- = 1
x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x)

Generalización:

La suma de n infinitésimos es equivalente al infinitésimo de menor orden.

Ejemplo: 7x5 + 4x3 + 2x2 equiv 2x2 cuando x->0

Teorema

Sustitución de infinitésimos equivalentes

H) limx->a α(x).f(x) = b (finito o infinito)
    α(x)x->a--> 0
    Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv α(x)
T) limx-a β(x).f(x) = b

Demostración: 
                                    pues lim α(x)/β(x) = 1
                                     |   x->a
                     α(x).β(x).f(x)  |         
lim α(x).f(x) = lim ---------------  = lim β(x).f(x) = b
x->a            x->a      β(x)         x->a

Teorema

Sustitución de infinitésimos equivalentes

H) limx->a f(x)/α(x) = b (finito o infinito)
    α(x)x->a--> 0
    Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv α(x)
T) limx-a f(x)/β(x) = b

Demostración: 
                        pues lim β(x)/α(x) = 1
                          |  x->a
    f(x)       β(x).f(x)  |     f(x)        
lim ---- = lim ---------  = lim ---- = b
x->a α(x) x->a β(x).α(x)    x->a β(x)

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Última modificación: noviembre 2004
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