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Operaciones con límites

Teorema

Límite de la suma

El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos.

H) lim_x->af(x)=b, lim_x->ag(x)=c
T) lim_x->af(x) + g(x) = b + c

Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x perteneciente al E^*_a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε.

Sea ε' = ε/2

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 |f(x) - b| < ε'.

lim_x->ag(x)=c => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 |g(x) - c| < ε'.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ se cumple:

• |f(x) - b| < ε'
• |g(x) - c| < ε'

=> |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε

|(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| <= (*) |f(x) - b| + |g(x) - c| < ε

(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|

=> (por def. de límite) lim_x->af(x) + g(x) = b + c

Ejemplo:

lim_x->2 x² = 4
lim_x->2 x = 2
lim_x->2 x² + x = 6

Teorema

H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = +inf
T) lim_x->af(x) + g(x) = +inf

lim_x->af(x)=b => (por def. de límite) para todo E_b,ε existe un E*_a,δ1 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 b - ε < f(x) < b + ε.

lim_x->ag(x)= +inf => (por def. de límite infinito) para todo A > 0 existe un E*_a,δ2 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 g(x) > A.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ se cumple:

• f(x) > b - ε
• g(x) > A

=> f(x) + g(x) > A + b - ε = K

=> (por def. de límite infinito) lim_x->a f(x) + g(x) = +inf.

Teorema

H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = -inf
T) lim_x->af(x) + g(x) = -inf

Análoga a la anterior.

Teorema

H) lim_x->af(x) = +inf, lim_x->ag(x) = +inf
T) lim_x->af(x) + g(x) = +inf

Sea A > 0.
Consideremos A/2.

Por def. de límite infinito, existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) > A/2

Por def. de límite infinito, existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 g(x) > A/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) + g(x) > A

=> (por def. de límite infinito) lim_x->af(x) + g(x) = +inf.

Teorema

H) lim_x->af(x) = -inf, lim_x->ag(x) = -inf
T) lim_x->af(x) + g(x) = -inf

Análoga a la anterior.

Cuando lim_x->af(x) = -inf y lim_x->ag(x) = +inf, el lim_x->af(x) + g(x) no puede determinarse, se dice que es INDETERMINADO de la forma inf - inf.

Teorema

Límite del producto

H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = c
T) lim_x->af(x).g(x) = b.c

Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ |f(x).g(x) - b.c| < ε.

lim_x->af(x) = b => (por def. de límite) para todo E_b,ε1 existe E*_a,δ1 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) pertenece al E_b,ε1.

lim_x->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo E_c,ε2 existe E*_a,δ2 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 f(x) pertenece al E_c,ε2.

lim_x->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ3 > 0 y k > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ3 |f(x)| < k.

	  ε	        ε
Sea ε1 = ---  ,   ε2 = ---
         2|c|           2k
              ε                            ε  
|f(x) - b| < ---     =>  |c||f(x) - b| <  ---     (1)       
             2|c|                          2
              ε                          ε  
|g(x) - c| < ---     =>  k|g(x) - c| <  ---       (2)     
              2k                         2			 
                                             ε
|f(x)| < k    => (de 2)  |f(x)||g(x) - c| < ---   (3)
                                             2  

Sea δ = min {δ1,δ2}

De 1) y 3): para todo x perteneciente al E^*_a,δ

|c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε

|f(x)g(x) - bc| = |f(x)g(x) - bc + f(x)c - f(x)c| = |c(f(x) - b) + f(x)(g(x) - c)| <= (*) |c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε

(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|

=> |f(x)g(x) - bc| < ε

=> (por def. de límite) lim_x->af(x)g(x) = bc

Ejemplo

lim_x->2 x = 2
lim_x->2 e^x = e²
lim_x->2 xe^x = 2e²

Teorema

H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = inf
T) lim_x->af(x)g(x) = inf

Nota: inf denota el infinito, positivo o negativo.

Caso 1:
H) lim_x->af(x) = b > 0, lim_x->ag(x) = +inf
T) lim_x->af(x)g(x) = +inf

Caso 2:
H) lim_x->af(x) = b > 0, lim_x->ag(x) = -inf
T) lim_x->af(x)g(x) = -inf

Caso 3:
H) lim_x->af(x) = b < 0, lim_x->ag(x) = +inf
T) lim_x->af(x)g(x) = -inf

Caso 4:
H) lim_x->af(x) = b < 0, lim_x->ag(x) = -inf
T) lim_x->af(x)g(x) = +inf

Quiero probar que para todo B > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x)g(x) > B.

lim_x->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ1 > 0 y k > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 f(x) > k.

lim_x->ag(x) = +inf => (por def. de límite infinito) para todo A > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 g(x) > A.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ

• f(x) > k
• g(x) > A

=> f(x)g(x) > kA > B
Basta elegir A > B/k.

Los demás casos se demuestran en forma análoga.

Si b = 0 el lim_x->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es una INDETERMINACIóN de la forma 0.inf.

Teorema

Límite del cociente

H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = c (c distinto de 0)
T) lim_x->af(x)/g(x) = b/c

lim_x->af(x) = b => (por def. de límite) para todo E_b,ε1 existe un E*_a,δ1 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ1 |f(x) - b| < ε1.

lim_x->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo E_c,ε2 existe un E*_a,δ2 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ2 |g(x) - c| < ε2.

Quiero probar que lim_x->af(x)/g(x) = b/c, o sea que para todo E_b/c,ε existe un E*_a,δ / para todo x perteneciente al E^*_a,δ |f(x)/g(x) - b/c| < ε.

                     |f(x)c - g(x)b|   |f(x)c - g(x)b - bc + bc|
|f(x)/g(x) - b/c| =  --------------- = ------------------------- =
                         |g(x)c|               |g(x)c|

|c(f(x) - b) + b(c - g(x))|    |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)|
--------------------------- <= ----------------------------- <
        |g(x)c|             (*)             |g(x)c|         (**)

|c||f(x) - b| + |b||c - g(x)|     (1)
----------------------------- 
           k|c|

(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|.

(**) pues |g(x)|> h por teo. de la acotación.

Sea ε1 = εh/2 y ε2 = εh|c|/2|b|

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ1

|f(x) - b| < εh       |c||f(x) - b| < εh|c|      (2)
             ---  =>                  ----
              2                         2  

Para todo x perteneciente al E^*_a,δ2

|g(x) - c| < εh|c|     |b||g(x) - c| < εh|c|      (3)
             -----  =>                 ----
             2|b|                       2

Sea δ = min {δ1,δ2}

De 2) y 3): para todo x perteneciente al E^*_a,δ

                         |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)|   εh|c|
=> |f(x)/g(x) - b/c| <   ----------------------------- < ----- = ε
                   por 1)            h|c|                 h|c|     

Ejemplo

      ex     1 
lim  ----- = -- 
x->0 x + 2    2

Otros cocientes

Caso 1:
H) lim_x->af(x) = b > 0, lim_x->ag(x) = 0⁺
T) lim_x->af(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0)

El límite 0⁺ indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a 0 por la derecha, es decir, 0 < f(x) < ε.

Caso 2:
H) lim_x->af(x) = b > 0, lim_x->ag(x) = 0^-
T) lim_x->af(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0)

Caso 3:
H) lim_x->ag(x) = b > 0, lim_x->ag(x) = +inf
T) lim_x->af(x)/g(x) = 0⁺ (0^- si b < 0)

Caso 4:
H) lim_x->af(x) = b > 0, lim_x->af(x) = -inf
T) lim_x->af(x)/g(x) = 0^- (0⁺ si b < 0)

Si lim_x->af(x) = 0 y lim_x->ag(x) = 0, lim_x->af(x)/g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0/0.

Si lim_x->af(x) = inf y lim_x->ag(x) = inf, lim_x->af(x)/g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma inf/inf.

Límite exponencial

Caso 1:
H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = c (c≠0)
T) lim_x->af(x)^g(x) = b^c

Caso 2:
H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = 0
T) lim_x->af(x)^g(x) = 1

Caso 3:
H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = +inf
T) lim_x->af(x)^g(x) = +inf

Caso 4:
H) lim_x->af(x) = b, lim_x->ag(x) = -inf
T) lim_x->af(x)^g(x) = 0

Si lim_x->af(x) = 0 y lim_x->ag(x) = inf, lim_x->af(x)^g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0^inf.

Si lim_x->af(x) = 0 y lim_x->ag(x) = 0, lim_x->af(x)^g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0⁰.

Si lim_x->af(x) = inf y lim_x->ag(x) = 0, lim_x->af(x)^g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma inf⁰.

Si lim_x->af(x) = 1 y lim_x->ag(x) = inf, lim_x->af(x)^g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 1^inf.

Teorema

H) lim_x->a f(x) = 1, lim_x->a g(x) = inf
T) lim_x->a f(x)^g(x) = e^k, k = lim_{f(x)->1, g(x)->inf} g(x)(f(x) - 1)

Sea h(x) = f(x) - 1

lim h(x) = 0 por límite de la suma

f(x) = 1 + h(x)

lim (1 + h(x))g(x) = lim (1 + h(x))g(x).(h(x)/h(x)) = 
h(x)->0, g(x)->inf    h(x)->0, g(x)->inf
                      h(x)≠0
	   e
    -------^-------         (1)                
lim (1 + h(x))1/h(x).g(x).h(x) = elim g(x).h(x) =
h(x)->0, g(x)->inf
h(x)≠0
   				
  lim g(x)(f(x) - 1)	
e  g(x)->inf, f(x)->1

1) por límite tipo 2 y límite exponencial.

Función compuesta

Si f es una función tal que f:A->B y g es una función tal que g:C->D, y B es subconjunto de C (el dominio de g contiene al rango de f), podemos definir una nueva función h:A->D como sigue: para cada x en A, se aplica f resultando un valor f(x) en B. Luego a este valor f(x) se aplica g, obteniéndose g[f(x)]. Definimos h como la función que mapea x en g[f(x)]. Se dice que h es la composición de g y f: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

Teorema

Límite de la función compuesta

H) lim_x->af(x)=b, lim_x->bg(x)=c
T) lim_x->ag[f(x)]=c

Queremos demostrar que lim_x->a g[f(x)]=c, o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E^*_a,δ g[f(x)] perteneciente al E_c,ε.

Por hipótesis lim_x->bg(x)=c => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_b,δ g(x) pertenece al E_c,ε   (1)

Por hipótesis lim_x->af(x) = b => por def. de límite si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_a,α f(x) pertenece al E_b,δ   (2)

De (1) y (2) se deduce que:
Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E^*_a,α g[f(x)] pertenece al E_c,ε.

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